다항 분포 (Mulitinomial distribution) 정리, 공식, 특징

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안녕하세요, HELLO

 

다항 분포(multinomial distribution)는 발생 가능한 결과가 2개인 이항 분포와 다르게, 여러 개인 다항인 확률 분포입니다. 이항분포의 확장된 형태인 다항 분포에 대해서 정리하려고 합니다.

 

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CHAPTER 1. '다항 분포(multinomial distribution)' 선행 지식

 

CHAPTER 2. '다항 분포(multinomial distribution)' 정리

 

CHAPTER 3. '다항 분포(multinomial distribution)' 공식 및 특징

 

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CHAPTER 1. '다항 분포(multinomial distribution)' 선행 지식

 

'다항 분포(multinomial distribution)'에 앞서서, '이항분포'에 대해 내용 정리가 필요한 분들은 이전에 발행한 글을 참고해주시기 바랍니다.

 

2022.01.16 - [DATA_SCIENCE/통계 (Statistics)] - 이항분포(Binomial distribution) 정리, 공식, 특징

이항분포(Binomial distribution) 정리, 공식, 특징

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CHAPTER 2. '다항 분포(multinomial distribution)' 정리

 

다항분포는 이항분포의 특징에서 확장된 형태로, 세 가지 조건을 달성합니다.

 

1. 각 시행에서 발생 가능한 결과의 개수는 k 개입니다.

- 이항분포는 발생 가능한 결과가 2개인 것에 비해, 다항 분포는 여러 개 결과를 가집니다.

 

2. 각 시행에서 i 번째 결과의 확률은 Pi로 고정됩니다.

3. 각 시행은 독립적으로 수행됩니다.

 

위 내용을 바탕으로, 확률변수 X1, X2,..., Xn은 n 번 시행했을 때의 다항 분포표를 그려보겠습니다.

여기서 Xij는 (i 번째 범주의 시행)에서 (j 번째 결과)를 의미하며, Xij의 값은 j가 나오면 1, 안 나오면 0을 가집니다. 각각의 시행에는 하나의 결과만이 나올 수 있어서, 각 시행의 합{(1 x 1) + (0 x (k-1)) = 0}은 항상 1을 가집니다. 

그리고 서로 다른 범주 (i ≠ j)의 시행 결과는 서로 독립입니다.

이를 바탕으로 다항분포의 기댓값과 분산은 아래처럼 정의됩니다.

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CHAPTER 3. '다항 분포(multinomial distribution)' 공식 및 특징

 

□ 확률질량함수

 

다항 분포는 이항분포의 확장된 형태를 가지기에, 이항분포의 개념을 연결해서 생각하면 쉽습니다.

이항분포 X~ B(n, p)의 확률질량함수는 아래처럼 작성할 수 있습니다.

그리고 식을 변형하면 아래처럼, 두 개의 확률변수의 확률질량함수로 정리할 수 있습니다.

위 내용을 토대로 두 개의 확률변수를 여러 개의 확률변수로 확장하면, 다항 분포의 확률질량함수로 정리할 수 있습니다.

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□ 공분산

 

다항 분포 확률변수 간의 관계를 공분산을 통해 확인할 수 있습니다.

다항 분포의 서로 다른 범주 (i ≠ j)의 시행 결과는 서로 독립이기에, cov(X11, X22)와 cov(X21, X12)는 0이 됩니다.

- 공분산은 서로 독립일 때, 0 값을 가집니다.

 

여기서 각각의 시행에는 하나의 결과만이 나오기에, 각 시행의 합{(1 x 1) + (0 x (k-1)) = 0}은 항상 1이 됩니다. 그래서 두 확률변수의 관계는 (1,0), (0,0), (0,1) 세 가지만 가집니다. 이로 인해 두 확률변수 곱의 기댓값은 항상 0 값을 가집니다. (1x0=0, 0x0=0, 0x1=0)

 

최종적으로 두 다항 분포 확률변수의 공분산은 아래와 같습니다.

이를 바탕으로 다항분포 확률변수의 분산을 구할 수 있습니다.

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□ 상관계수

 

다항 분포의 상관계수는 아래와 같습니다.

이때, pi/(1-pi)인 (성공 확률/실패 확률)은 통계학에서 비율에 대해 추종할 때 중요한 개념이기에 별도로 '오즈 (odd)'라고 정리합니다.

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■ 마무리

 

'다항 분포'의 공식 및 특징 등에 대해서 정리해봤습니다.

 

그럼 오늘 하루도 즐거운 나날 되길 기도하겠습니다

좋아요와 댓글 부탁드립니다 :)

 

감사합니다.