초기하 분포(Hypergeometric distribution) 정리, 공식, 특징

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안녕하세요, HELLO

 

초기하 분포(hypergeometric distribution)는 유한 모집단이 두 그룹으로 나누어져 있고 표본을 비복원으로 추출할 때 특정 그룹에서 뽑힌 표본의 수에 대한 확률분포입니다. 오늘은 베르누이 시행을 따르는 초기하 분포의 정의와 성질에 대해서 살펴보고자 합니다.

 

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CHAPTER 1. '초기하 분포(hypergeometric distribution)' 선행 지식

 

CHAPTER 2. '초기하 분포(hypergeometric distribution)' 정리

 

CHAPTER 3. '초기하 분포(hypergeometric distribution)' 공식 및 특징

 

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CHAPTER 1. '초기하 분포(hypergeometric distribution)' 선행 지식

 

'초기하 분포(hypergeometric distribution)'에 앞서서, '베르누이 시행' 그리고 '이항분포'에 대해 내용 정리가 필요한 분들은 이전에 발행한 글을 참고해주시기 바랍니다.

 

2022.01.16 - [DATA_SCIENCE/통계 (Statistics)] - 베르누이 시행(Bernoulli trial) 정리, 공식, 특징

베르누이 시행(Bernoulli trial) 정리, 공식, 특징

2022.01.16 - [DATA_SCIENCE/통계 (Statistics)] - 이항분포(Binomial distribution) 정리, 공식, 특징

이항분포(Binomial distribution) 정리, 공식, 특징

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CHAPTER 2. '초기하 분포(hypergeometric distribution)' 정리

 

모집단이 유한하며, 크기가 N인 모집단에서 크기가 M과 N−M인 두 개의 부모 집단 (A, B)에서 n 개의 표본을 비복원 추출할 때, 목표하는 부모 집단(A)에서 추출된 표본 수의 분포를 의미합니다. 비복원으로 추출하기에, 각 표본의 추출 과정은 독립적이지 않은 특징이 있습니다.

초기하 분포의 일반식은 다음과 같습니다. 분모는 전체 N 개 중 n 개의 표본을 선택하는 조합의 수이고, 분자는 목표하는 부모 집단 (A)에서 M 개에서 x 개를 선택하고, 나머지 부모 집단 (B)에서 N−M 개에서 n−x 개를 선택하는 조합의 수입니다.

여기서 X의 최댓값은 n과 M 중 작은 값인 min(n, M)이 되며, X의 최솟값은 max(0, n-N+M)가 됩니다. 추가적으로 N(모집단)이 충분히 크고 n(표본의 크기)이 상대적으로 작은 경우에는, 비복원 추출의 결과를 베르누이 시행으로 간주할 수 있으며, 이에 따라 초기화 분포는 p = M/N인 이항분포로 근사할 수 있습니다.

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CHAPTER 3. '초기하 분포(hypergeometric distribution)' 공식 및 특징

 

초기하 분포의 각 시행에서 목표하는 부모 집단 (A)에서 추출되면 1 값을 가지고, 다른 집단에서 추출되면 0으로 표시한 확률변수의 합으로 표시하면, 각 집단에서 추출되는 확률은 아래와 같습니다.

이를 바탕으로초기하 분포의 기댓값은 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

분산의 경우, 이항분포와 다르게 비복원 추출로 진행되기에 각각의 시행이 독립이 아닙니다. 따라서 공분산 계수를 더해서 구해야 됩니다.

위 내용을 바탕으로 일반식으로 정리하면 다음 식으로 표현됩니다.

초기하 분포의 분산은 이항분포의 분산에 유한 모집단 수정계수 N−n/N−1을 곱한 값을 갖습니다. 초기하 분포의 분산은 n 값이 커질수록, 분산이 작아지며, 변동성이 줄어드는 것을 확인할 수 있습니다.

 

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■ 마무리

 

'초기하 분포(hypergeometric distribution)'의 공식 및 특징 등에 대해서 정리해봤습니다.

 

그럼 오늘 하루도 즐거운 나날 되길 기도하겠습니다

좋아요와 댓글 부탁드립니다 :)

 

감사합니다.