이항분포(Binomial distribution) 정리, 공식, 특징

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안녕하세요, HELLO

 

성공할 확률이 p인 베르누이 시행(각 실험에서 발생 가능한 결과가 단 2가지인 경우)를 n 번 반복했을 때 성공 횟수(X)의 분포를 이항분포 (binomial distribution)이라고 합니다. 오늘은 베르누이 시행을 따르는 이항분포의 정의와 성질에 대해서 살펴보고자 합니다.

 

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CHAPTER 1. '이항분포(Binomial distribution)' 선행 지식

 

CHAPTER 2. '이항분포(Binomial distribution)' 정리

 

CHAPTER 3. '이항분포(Binomial distribution)' 공식 및 특징

 

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CHAPTER 1. '이항분포(Binomial distribution)' 선행 지식

 

'이항분포(Binomial distribution)'에 앞서서, '베르누이 시행'에 대해 내용 정리가 필요한 분들은 이전에 발행한 글을 참고해주시기 바랍니다.

 

2022.01.16 - [DATA_SCIENCE/통계 (Statistics)] - 베르누이 시행(Bernoulli trial) 정리, 공식, 특징

베르누이 시행(Bernoulli trial) 정리, 공식, 특징

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CHAPTER 2. '이항분포(Binomial distribution)' 정리

 

성공할 확률이 p인 베르누이 시행 (각 실험에서 발생 가능한 결과가 단 2가지인 경우)를 n 번 반복했을 때 성공 횟수(X)의 분포를 이항분포 (binomial distribution)이라고 합니다. Xi ~ B(p)라고 할 때, 성공 횟수 X는 n 개의 베르누이 확률 변수를 합으로 표시할 수 있습니다.

확률변수 X는 n 개의 베르누이 확률변수의 합으로 X의 기댓값은 베르누이 확률변수의 기댓값의 합으로 표시됩니다.

그리고 베르누이 확률변수는 서로 독립이기 때문에 X의 분산도 다음과 같이 각각의 베르누이 분산의 합으로 표시합니다. 이는 확률변수가 독립이면, 이 둘의 공분산이 0이 되기에 각각의 베르누이 분산의 합으로 표시할 수 있는 것입니다.

추가적으로 표준편차는 아래와 같습니다.

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CHAPTER 3. '이항분포(Binomial distribution)' 공식 및 특징

 

이항분포는 시행 횟수 n과 성공 확률 p에 따라 확률 구조가 결정되며 이 두 값의 이항분포의 모수 (parameter)가 됩니다. 모수란 분포의 특성을 완전히 결정하는 값을 의미합니다.

확률변수 X가 모수 n, p를 따르는 이항분포는 X ~ B(n, p)로 표시합니다. 아래는 성공 확률 p에 따라 그래프입니다. 성공 확률이 0.5일 때는 대칭 모습을 가지며, 0.5보다 작을 때는 작은 값이 더 많기에 왼쪽으로 기울어진 그래프가 되며, 반면에 0.5보다 클 경우에는 큰 값이 많기에 오른쪽으로 기울어진 그래프가 됩니다.

이항분포는 성공 확률이 동일하고 서로 독립인 이항 확률변수의 합도 이항분포를 따릅니다. 두 확률변수 X와 Y가 각각 X ~ B(n, p), Y ~ B(m, p)이고 서로 독립이라면, 확률변수 X와 Y의 합인 시행 횟수 n+m, 성공 확률이 p인 베르누이 시행을 한 확률변수로 간주합니다. 이에 따라 X+Y ~ B(n+m, p)가 됩니다.

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■ 마무리

 

'이항분포(Binomial distribution)'의 공식 및 특징 등에 대해서 정리해봤습니다.

 

그럼 오늘 하루도 즐거운 나날 되길 기도하겠습니다

좋아요와 댓글 부탁드립니다 :)

 

감사합니다.