안녕하세요, HELLO
각 실험에서 발생 가능한 결과가 (성공, 실패), (앞면, 뒷면) 등으로 단 2가지인 경우를 베르누이 시행(Bernoulli trial)이라고 합니다. 오늘은 독립 시행에 대표적인 베르누이 시행, 베르누이 확률변수 그리고 성질에 대해서 살펴보고자 합니다.
CHAPTER 1. '베르누이 시행(Bernoulli trial)' 선행 지식
CHAPTER 2. '베르누이 시행(Bernoulli trial)' 정리
CHAPTER 3. '베르누이 시행(Bernoulli trial)' 공식 및 특징
CHAPTER 1. '베르누이 시행(Bernoulli trial)' 선행 지식
'베르누이 시행'에 앞서서, '확률변수와 확률분포'에 대해 내용 정리가 필요한 분들은 이전에 발행한 글을 참고해주시기 바랍니다.
확률변수 (Random vairable), 확률분포 (Probability distribution) 정리, 공식, 특징
안녕하세요, HELLO 표본공간의 값을 실함수로 표현한 것을 확률변수 (random variable)라고 하며, 확률변수에서 표본공간의 값에 대한 확률을 표시한 것을 확률분포 (probability distribution)라고 합니다.
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CHAPTER 2. '베르누이 시행(Bernoulli trial)' 정리
베르누이 시행 (Bernoulli trial)은 세 가지 조건이 충족되어야 합니다.
1. 각 실험에서 발생 가능한 결과는 단 2가지
2. 각 실험이 독립적으로 수행
3. 모든 실험에서 결과의 확률은 항상 동일
예를 들어, 10개의 제품 중 7개가 정상, 3개가 불량품일 때, 불량품이 뽑히는 사건을 A라고 하겠습니다. 복원 추출과 비복원 추출 방법으로 각각 제품을 뽑았을 때 3개 모두 불량품일 확률은 다음과 같습니다.
2개를 복원 추출하는 경우는 불량품이 뽑힐 확률이 항상 3/10이기 때문에 베르누이 시행이라고 할 수 있습니다. 결과의 확률이 항상 동일하고, 실험이 독립적으로 수행되었기 때문입니다. 이때 독립 여부는 실험의 교집합이 각각의 확률의 곱으로 이뤄졌기 때문입니다. 하지만 비복원 추출의 경우 두 번째 추출은 첫 번째 추출 결과에 영향을 받기 때문에, 독립사건이 아니므로 베르누이 시행이라고 할 수 없습니다.
다만, 모집단의 크기가 충분히 크고 이에 비해 표본의 크기가 상대적으로 작아 비복원 추출의 결과와 복원 추출의 결과에 차이가 거의 없는 경우 비복원 추출도 베르누이 시행을 근사 모형으로 사용할 수 있습니다.
CHAPTER 3. '베르누이 시행(Bernoulli trial)' 공식 및 특징
결과가 단 2가지인 베르누이 시행에서 성공 확률을 p라고 하면, 실패 확률은 1-p가 됩니다. 이때, 확률변수 X의 실험 결과가 성공이면 1, 실패이면 0의 값을 갖는 확률분포는 아래처럼 표시할 수 있습니다.
이러한 확률분포를 따르는 확률변수 X를 베르누이 확률변수(Bernoulli random variable)라고 하며, 베르누이 분포(Bernoulli distribution)를 따릅니다. 이를 정리하면 확률변수 X의 성공 확률이 p인 베르누이 확률질량함수 X ~ B(p)는 아래처럼 쓸 수 있습니다.
베르누이 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
기댓값은 성공 확률 p를 따르며, 분산은 성공 확률 p와 실패 확률 (1-p)의 곱으로 이뤄집니다. 분산을 그래프로 그리면, p가 1/2일 때 최댓값을 가지는 것을 볼 수 있습니다. 이처럼 베르누이 확률분포는 성공 확률이 p에 의해 확률과 기댓값이 결정됩니다. 이와 같이 분포의 특성을 결정하는 상수를 모수(parameter)라고 합니다.
■ 마무리
'베르누이 시행(Bernoulli trial)'의 공식 및 특징 등에 대해서 정리해봤습니다.
그럼 오늘 하루도 즐거운 나날 되길 기도하겠습니다
좋아요와 댓글 부탁드립니다 :)
감사합니다.
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